第6题

一个旋转圆锥内切一个同时与底面和侧面相切的球。作一个外接于该球的圆柱,使其底面位于圆锥底面内。设圆锥和圆柱体积分别为

V_1

、

V_2

:(a)证明

V_1\ne V_2

;(b)求

V_1/V_2

的最小值,并在此情形作出圆锥的半顶角。

第 4/4 步：等号情形与半顶角的作法

s=\sin\theta=\dfrac13\quad\Longrightarrow\quad\min\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac43

详细分析

等号当且仅当 $1-3s=0$ ,即 $s=1/3$ 时成立,最小比为 $4/3$ 。作一个斜边为 $3$ 、对边为 $1$ 的直角三角形;对边所对的锐角满足 $\sin\theta=1/3$ ,就是所需圆锥半顶角。