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第7题

在等腰梯形 ABCDABCD 中,AB∥DCAB\parallel DC 且 BC=ADBC=AD,设 AB=aAB=a,CD=cCD=c,从 AA 到 CDCD 的垂距为 hh。说明如何作出对称轴上所有满足 ∠BXC=∠AXD=90∘\angle BXC=\angle AXD=90^\circ 的点 XX。求每个 XX 到 ABAB 与 CDCD 的距离,并给出这些点存在的条件。
第 1/5 步：用泰勒斯定理改写直角条件
上一步下一步
通俗地说

由于对称性,两个直角条件实际上合并为与一个圆相交的条件。

∠BXC=90∘  ⟺  X lies on the circle with diameter BC\angle BXC=90^\circ\iff X\text{ lies on the circle with diameter }BC
详细分析

以线段 BCBC 所对的直角为轨迹的点集是以 BCBC 为直径的圆。因此，所求对称轴上的点 XX 必须是该圆与对称轴的交点。由于等腰梯形的对称轴将 A↔BA\leftrightarrow B、D↔CD\leftrightarrow C 互换，这样的 XX 也自动满足 ∠AXD=90∘\angle AXD=90^\circ。