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国际数学奥林匹克 · 1961年

试题

  1. 第1题在实数范围内解 x+y+z=a,x2+y2+z2=b2,xy=z2x+y+z=a,\quad x^2+y^2+z^2=b^2,\quad xy=z^2。求 x,y,zx,y,z 为互不相同正数时 aa 与 bb 的充要条件。解法: 1
  2. 第2题设 a,b,ca,b,c 是面积为 SS 的三角形的边长。证明 a2+b2+c2≥4S3a^2+b^2+c^2\ge4S\sqrt{3}。等号何时成立?解法: 1
  3. 第3题解方程 cos⁡nx−sin⁡nx=1\cos^n x-\sin^n x=1,其中 nn 是给定的正整数。解法: 1
  4. 第4题在三角形 P1P2P3P_1P_2P_3 内取一点 PP。设 Q1,Q2,Q3Q_1,Q_2,Q_3 分别为 PP1,PP2,PP3PP_1,PP_2,PP_3 与对边的交点。证明三个比 PP1PQ1,PP2PQ2,PP3PQ3\frac{PP_1}{PQ_1},\frac{PP_2}{PQ_2},\frac{PP_3}{PQ_3} 中有一个不大于 22,且有一个不小于 22。解法: 1
  5. 第5题已知 AC=bAC=b、AB=cAB=c,且 MM 为 BCBC 中点、∠AMB=ω\angle AMB=\omega 且 ω<90∘\omega<90^\circ,作三角形 ABCABC。证明有解当且仅当 btan⁡(ω/2)≤c<bb\tan(\omega/2)\le c<b。等号何时成立?解法: 1
  6. 第6题给定平面 ϵ\epsilon 及同在其一侧的三个不共线点 A,B,CA,B,C,且平面 ABCABC 不平行于 ϵ\epsilon。在 ϵ\epsilon 上任取点 A′,B′,C′A',B',C'。设 L,M,NL,M,N 分别为 AA′,BB′,CC′AA',BB',CC' 的中点,GG 为三角形 LMNLMN 的重心。当 A′,B′,C′A',B',C' 独立在 ϵ\epsilon 上变化时,求 GG 的轨迹(不考虑 LMNLMN 退化的情形)。解法: 1