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第3题

解方程 cos⁡nx−sin⁡nx=1\cos^n x-\sin^n x=1,其中 nn 是给定的正整数。
第 1/6 步：处理 nn 为偶数的情形
上一步下一步
通俗地说

偶次幂非负,减去正弦项只会使结果不超过余弦项。

n even:cos⁡nx−sin⁡nx≤cos⁡nx≤1n\text{ even}:\quad \cos^n x-\sin^n x\le\cos^n x\le1
详细分析

nn 为偶数时,sin⁡nx≥0\sin^n x\ge0 且 ∣cos⁡x∣≤1|\cos x|\le1,故 cos⁡nx−sin⁡nx≤1\cos^n x-\sin^n x\le1。等号要求 sin⁡nx=0\sin^n x=0、cos⁡nx=1\cos^n x=1,即 sin⁡x=0\sin x=0 且 ∣cos⁡x∣=1|\cos x|=1。