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第1题

在实数范围内解 x+y+z=a,x2+y2+z2=b2,xy=z2x+y+z=a,\quad x^2+y^2+z^2=b^2,\quad xy=z^2。求 x,y,zx,y,z 为互不相同正数时 aa 与 bb 的充要条件。
第 3/3 步：求出 x,y 与正性条件
上一步下一步
通俗地说

对每个允许的 z，x,y 是一个二次方程的两根；判别式决定实数性与互异性。

x,y=a−z±a2−2az−3z22,a2−2az−3z2≥0x,y=\frac{a-z\pm\sqrt{a^2-2az-3z^2}}{2},\qquad a^2-2az-3z^2\ge0
详细分析

对第2步的每个 z，x,y 是 t2−(a−z)t+z2=0t^2-(a-z)t+z^2=0 的两根，故得到所示公式；第二个不等式正是 x,y 为实数的条件。这给出所有实数解的参数化（包括 a=b=0a=b=0 时的零解）。若要求 x,y,z 为互不相同的正数，正性给出 a>0a>0、∣b∣<a|b|<a，互异性还给出 3b2−a2>03b^2-a^2>0。因此充要条件是 a>0a>0 且 a/3<∣b∣<aa/\sqrt3<|b|<a。