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国际数学奥林匹克
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1961年
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第2题
第2题
设
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
是面积为
S
S
S
的三角形的边长。证明
a
2
+
b
2
+
c
2
≥
4
S
3
a^2+b^2+c^2\ge4S\sqrt{3}
a
2
+
b
2
+
c
2
≥
4
S
3
。等号何时成立?
第 3/6 步：对目标不等式作平方比较
上一步
下一步
4
S
3
=
3
(
4
b
2
c
2
−
(
b
2
+
c
2
−
a
2
)
2
)
4S\sqrt3=\sqrt{3(4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2)}
4
S
3
=
3
(
4
b
2
c
2
−
(
b
2
+
c
2
−
a
2
)
2
)
详细分析
由于面积为正,两边非负。因此把上式乘以
3
3
3
后,只需证明
a
2
+
b
2
+
c
2
a^2+b^2+c^2
a
2
+
b
2
+
c
2
不小于所得右端平方根。
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