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国际数学奥林匹克
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1961年
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第2题
第2题
设
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
是面积为
S
S
S
的三角形的边长。证明
a
2
+
b
2
+
c
2
≥
4
S
3
a^2+b^2+c^2\ge4S\sqrt{3}
a
2
+
b
2
+
c
2
≥
4
S
3
。等号何时成立?
第 4/6 步：令变量为边长的平方
上一步
下一步
A
=
a
2
,
B
=
b
2
,
C
=
c
2
⟹
A
+
B
+
C
≥
6
A
B
+
6
B
C
+
6
C
A
−
3
A
2
−
3
B
2
−
3
C
2
A=a^2,\ B=b^2,\ C=c^2\quad\Longrightarrow\quad A+B+C\ge\sqrt{6AB+6BC+6CA-3A^2-3B^2-3C^2}
A
=
a
2
,
B
=
b
2
,
C
=
c
2
⟹
A
+
B
+
C
≥
6
A
B
+
6
B
C
+
6
C
A
−
3
A
2
−
3
B
2
−
3
C
2
详细分析
代入
A
=
a
2
,
B
=
b
2
,
C
=
c
2
A=a^2,B=b^2,C=c^2
A
=
a
2
,
B
=
b
2
,
C
=
c
2
并展开根号内表达式,命题化为所示不等式。两边非负,所以平方是等价的。
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