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国际数学奥林匹克
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1961年
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第2题
第2题
设
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
是面积为
S
S
S
的三角形的边长。证明
a
2
+
b
2
+
c
2
≥
4
S
3
a^2+b^2+c^2\ge4S\sqrt{3}
a
2
+
b
2
+
c
2
≥
4
S
3
。等号何时成立?
第 5/6 步：化为标准二次不等式
上一步
下一步
(
A
+
B
+
C
)
2
−
(
6
A
B
+
6
B
C
+
6
C
A
−
3
A
2
−
3
B
2
−
3
C
2
)
=
4
(
A
2
+
B
2
+
C
2
−
A
B
−
B
C
−
C
A
)
(A+B+C)^2-(6AB+6BC+6CA-3A^2-3B^2-3C^2)=4(A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA)
(
A
+
B
+
C
)
2
−
(
6
A
B
+
6
B
C
+
6
C
A
−
3
A
2
−
3
B
2
−
3
C
2
)
=
4
(
A
2
+
B
2
+
C
2
−
A
B
−
B
C
−
C
A
)
详细分析
平方并整理后,要证的不等式恰好等价于
A
2
+
B
2
+
C
2
≥
A
B
+
B
C
+
C
A
A^2+B^2+C^2\ge AB+BC+CA
A
2
+
B
2
+
C
2
≥
A
B
+
B
C
+
C
A
。
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