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第2题

设 a,b,ca,b,c 是面积为 SS 的三角形的边长。证明 a2+b2+c2≥4S3a^2+b^2+c^2\ge4S\sqrt{3}。等号何时成立?
第 6/6 步：用两两 AM–GM 完成证明并判断等号
上一步下一步
A2+B22≥AB,B2+C22≥BC,C2+A22≥CA\frac{A^2+B^2}{2}\ge AB,\quad\frac{B^2+C^2}{2}\ge BC,\quad\frac{C^2+A^2}{2}\ge CA
详细分析

相加三式得 A2+B2+C2≥AB+BC+CAA^2+B^2+C^2\ge AB+BC+CA。等号要求 A=B=CA=B=C,从而 a=b=ca=b=c,三角形为等边三角形;直接代入可知等号确实成立。