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第3题

解方程 cos⁡nx−sin⁡nx=1\cos^n x-\sin^n x=1,其中 nn 是给定的正整数。
第 3/6 步：考察奇数 nn 在上半周期的情形
上一步下一步
n odd, x∈[0,π]:sin⁡nx≥0⟹cos⁡nx−sin⁡nx≤1n\text{ odd},\ x\in[0,\pi]:\quad \sin^n x\ge0\Longrightarrow\cos^n x-\sin^n x\le1
详细分析

当 nn 为奇数且 x∈[0,π]x\in[0,\pi] 时,sin⁡x≥0\sin x\ge0,所以 sin⁡nx≥0\sin^n x\ge0 且 cos⁡nx≤1\cos^n x\le1。等式只能在 sin⁡x=0\sin x=0 且 cos⁡x=1\cos x=1 时成立,即 x=0x=0 模 2π2\pi。