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第3题

解方程 cos⁡nx−sin⁡nx=1\cos^n x-\sin^n x=1,其中 nn 是给定的正整数。
第 4/6 步：排除第三象限
上一步下一步
x∈(π,3π/2):cos⁡nx−sin⁡nx=(−∣cos⁡x∣)n−(−∣sin⁡x∣)n<1x\in(\pi,3\pi/2):\quad \cos^n x-\sin^n x=(-\lvert\cos x\rvert)^n-(-\lvert\sin x\rvert)^n<1
详细分析

此时正弦与余弦都为负。令 u=∣sin⁡x∣u=|\sin x|、v=∣cos⁡x∣v=|\cos x|,则 u,v∈(0,1)u,v\in(0,1) 且 u2+v2=1u^2+v^2=1。奇数 nn 时表达式为 un−vn<un<1u^n-v^n<u^n<1,故开区间内无解;端点 x=3π/2x=3\pi/2 满足等式。