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第3题

解方程 cos⁡nx−sin⁡nx=1\cos^n x-\sin^n x=1,其中 nn 是给定的正整数。
第 5/6 步：排除第四象限内部
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x∈(3π/2,2π):cos⁡nx−sin⁡nx=cos⁡nx+∣sin⁡x∣n<1x\in(3\pi/2,2\pi):\quad \cos^n x-\sin^n x=\cos^n x+|\sin x|^n<1
详细分析

在此区间令 u=cos⁡xu=\cos x、v=∣sin⁡x∣v=|\sin x|,两者均在 (0,1)(0,1) 且 u2+v2=1u^2+v^2=1。当 n=1n=1 时内部有 u+v>1u+v>1;当奇数 n≥3n\ge3 时 un+vn<u2+v2=1u^n+v^n<u^2+v^2=1。因此边界解只有 x=3π/2x=3\pi/2(而 x=2πx=2\pi 与模 2π2\pi 的 00 相同)。