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第4题

在三角形 P1P2P3P_1P_2P_3 内取一点 PP。设 Q1,Q2,Q3Q_1,Q_2,Q_3 分别为 PP1,PP2,PP3PP_1,PP_2,PP_3 与对边的交点。证明三个比 PP1PQ1,PP2PQ2,PP3PQ3\frac{PP_1}{PQ_1},\frac{PP_2}{PQ_2},\frac{PP_3}{PQ_3} 中有一个不大于 22,且有一个不小于 22。
第 1/5 步：把每条劈线转为面积比
上一步下一步
通俗地说

共底三角形的面积与高成正比,而同一劈线上的点给出线性距离比。

r1=[PP2P3][P1P2P3]=PQ1P1Q1,r2=PQ2P2Q2,r3=PQ3P3Q3r_1=\frac{[PP_2P_3]}{[P_1P_2P_3]}=\frac{PQ_1}{P_1Q_1},\quad r_2=\frac{PQ_2}{P_2Q_2},\quad r_3=\frac{PQ_3}{P_3Q_3}
详细分析

由于 P,Q1,P1P,Q_1,P_1 共线,三角形 PP2P3PP_2P_3 与 P1P2P3P_1P_2P_3 共底 P2P3P_2P_3,面积比等于 PQ1/P1Q1PQ_1/P_1Q_1。定义此比为 r1r_1;其余两式循环得到。