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国际数学奥林匹克
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1961年
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第4题
第4题
在三角形
P
1
P
2
P
3
P_1P_2P_3
P
1
P
2
P
3
内取一点
P
P
P
。设
Q
1
,
Q
2
,
Q
3
Q_1,Q_2,Q_3
Q
1
,
Q
2
,
Q
3
分别为
P
P
1
,
P
P
2
,
P
P
3
PP_1,PP_2,PP_3
P
P
1
,
P
P
2
,
P
P
3
与对边的交点。证明三个比
P
P
1
P
Q
1
,
P
P
2
P
Q
2
,
P
P
3
P
Q
3
\frac{PP_1}{PQ_1},\frac{PP_2}{PQ_2},\frac{PP_3}{PQ_3}
P
Q
1
P
P
1
,
P
Q
2
P
P
2
,
P
Q
3
P
P
3
中有一个不大于
2
2
2
,且有一个不小于
2
2
2
。
第 2/5 步：求三个面积比之和
上一步
下一步
r
1
+
r
2
+
r
3
=
[
P
P
2
P
3
]
+
[
P
P
3
P
1
]
+
[
P
P
1
P
2
]
[
P
1
P
2
P
3
]
=
1
r_1+r_2+r_3=\frac{[PP_2P_3]+[PP_3P_1]+[PP_1P_2]}{[P_1P_2P_3]}=1
r
1
+
r
2
+
r
3
=
[
P
1
P
2
P
3
]
[
P
P
2
P
3
]
+
[
P
P
3
P
1
]
+
[
P
P
1
P
2
]
=
1
详细分析
三个子三角形把
P
1
P
2
P
3
P_1P_2P_3
P
1
P
2
P
3
分割开,其面积和等于整个三角形面积。因此
r
1
+
r
2
+
r
3
=
1
r_1+r_2+r_3=1
r
1
+
r
2
+
r
3
=
1
。
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