第4题

在三角形

P_1P_2P_3

内取一点

P

。设

Q_1,Q_2,Q_3

分别为

PP_1,PP_2,PP_3

与对边的交点。证明三个比

\frac{PP_1}{PQ_1},\frac{PP_2}{PQ_2},\frac{PP_3}{PQ_3}

中有一个不大于

2

,且有一个不小于

2

。

第 4/5 步：换回题目要求的比

r_i=\frac{PQ_i}{P_iQ_i}=\frac{PQ_i}{PP_i+PQ_i}\quad\Longrightarrow\quad\frac{PP_i}{PQ_i}=\frac{1-r_i}{r_i}

详细分析

由于 $P$ 位于 $P_i$ 与 $Q_i$ 之间, $P_iQ_i=PP_i+PQ_i$ 。由 $r_i$ 的定义解得 $PP_i/PQ_i=(1-r_i)/r_i$ 。