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第4题

在三角形 P1P2P3P_1P_2P_3 内取一点 PP。设 Q1,Q2,Q3Q_1,Q_2,Q_3 分别为 PP1,PP2,PP3PP_1,PP_2,PP_3 与对边的交点。证明三个比 PP1PQ1,PP2PQ2,PP3PQ3\frac{PP_1}{PQ_1},\frac{PP_2}{PQ_2},\frac{PP_3}{PQ_3} 中有一个不大于 22,且有一个不小于 22。
第 5/5 步：推出两个所需不等式
上一步下一步
ri≤13⟹PPiPQi≥2,rj≥13⟹PPjPQj≤2r_i\le\frac13\Longrightarrow\frac{PP_i}{PQ_i}\ge2,\qquad r_j\ge\frac13\Longrightarrow\frac{PP_j}{PQ_j}\le2
详细分析

对正数 rr,(1−r)/r(1-r)/r 递减。因此 ri≤1/3r_i\le1/3 给出 PPi/PQi≥2PP_i/PQ_i\ge2,rj≥1/3r_j\ge1/3 给出 PPj/PQj≤2PP_j/PQ_j\le2。这正是所需结论。