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第5题

已知 AC=bAC=b、AB=cAB=c,且 MM 为 BCBC 中点、∠AMB=ω\angle AMB=\omega 且 ω<90∘\omega<90^\circ,作三角形 ABCABC。证明有解当且仅当 btan⁡(ω/2)≤c<bb\tan(\omega/2)\le c<b。等号何时成立?
第 5/6 步：推出充要不等式
上一步下一步
ABAX=tan⁡ω2⟹btan⁡ω2≤c<b\frac{AB}{AX}=\tan\frac{\omega}{2}\quad\Longrightarrow\quad b\tan\frac{\omega}{2}\le c<b
详细分析

由 AA 与 XX 以及圆的构成得到直角三角形,从而 AB/AX=tan⁡(ω/2)AB/AX=\tan(\omega/2)。因此 AX≥bAX\ge b 等价于 c≥btan⁡(ω/2)c\ge b\tan(\omega/2),而 b>cb>c 是另一不等式。所以有解当且仅当 btan⁡(ω/2)≤c<bb\tan(\omega/2)\le c<b。