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第6题

给定平面 ϵ\epsilon 及同在其一侧的三个不共线点 A,B,CA,B,C,且平面 ABCABC 不平行于 ϵ\epsilon。在 ϵ\epsilon 上任取点 A′,B′,C′A',B',C'。设 L,M,NL,M,N 分别为 AA′,BB′,CC′AA',BB',CC' 的中点,GG 为三角形 LMNLMN 的重心。当 A′,B′,C′A',B',C' 独立在 ϵ\epsilon 上变化时,求 GG 的轨迹(不考虑 LMNLMN 退化的情形)。
第 3/5 步：识别两个重心
上一步下一步
G=12(A+B+C3+A′+B′+C′3)G=\frac12\left(\frac{A+B+C}{3}+\frac{A'+B'+C'}{3}\right)
详细分析

令 T=(A+B+C)/3T=(A+B+C)/3 为 ABCABC 重心,T′=(A′+B′+C′)/3T'=(A'+B'+C')/3 为 A′B′C′A'B'C' 重心。则 G=(T+T′)/2G=(T+T')/2,所以 GG 是 TT′TT' 的中点。