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第3题

在一个所有内角都相等的 nn 边形中，连续边长满足 a1≥a2≥⋯≥ana_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n。证明 a1=a2=⋯=ana_1=a_2=\cdots=a_n。
第 2/5 步：投影闭合的边向量和
上一步下一步
通俗地说

正弦投影把多边形两侧的相反方向配对；边长的排序使每个配对差非负。

∑i=1naisin⁡((i−1)θ)=0⟹∑j=1⌊(n−1)/2⌋(aj+1−an−j+1)sin⁡(jθ)=0\sum_{i=1}^{n}a_i\sin((i-1)\theta)=0\Longrightarrow\sum_{j=1}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}(a_{j+1}-a_{n-j+1})\sin(j\theta)=0
详细分析

令第一条边沿 xx 轴。多边形闭合给出 ∑iai(cos⁡((i−1)θ),sin⁡((i−1)θ))=0\sum_i a_i(\cos((i-1)\theta),\sin((i-1)\theta))=0。取正弦分量并配对方向 jθj\theta 与 (n−j)θ(n-j)\theta 的项，得到所示求和；当 nn 为偶数时剩余方向的正弦为 00。