国际数学奥林匹克 · 1963年

试题

第1题对于哪些实数 $p$ ，方程 $\sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x$ 有实根？求出这些根。解法: 1
第2题给定点 $A$ 和线段 $BC$ ，求空间中所有满足存在 $BC$ 上的点 $X$ 使 $\angle APX=90^\circ$ 的点 $P$ 的轨迹。解法: 1
第3题在一个所有内角都相等的 $n$ 边形中，连续边长满足 $a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n$ 。证明 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 。解法: 1
第4题求所有实数解 $x_1,\ldots,x_5$ ，满足 $i=1,\ldots,5$ 时 $x_i+x_{i+2}=yx_{i+1}$ ，其中下标按模 $5$ 计算。解法: 1
第5题证明 $\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}=\frac12$ 。解法: 1
第6题五名学生 $A,B,C,D,E$ 参加比赛。第一次预测的顺序是 $ABCDE$ ，但没有人处在预测的位置，且预测中相邻的两人实际也没有相邻。第二次预测为 $DAECB$ 。恰有两人处在预测的位置，并且预测中相邻的两对互不相交的学生实际也相邻。求实际顺序。解法: 1