第3题

在一个所有内角都相等的

n

边形中，连续边长满足

a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n

。证明

a_1=a_2=\cdots=a_n

。

第 3/5 步：迫使每个配对差取等号

通俗地说

非负项之和为零只能说明每一项都为零。

a_{j+1}\ge a_{n-j+1},\quad\sin(j\theta)>0\Longrightarrow a_{j+1}=a_{n-j+1}\quad(1\le j\le\lfloor(n-1)/2\rfloor)

详细分析

在所示 $j$ 的范围内有 $0<j\theta<\pi$ ，故 $\sin(j\theta)>0$ 。由边长排序 $a_{j+1}\ge a_{n-j+1}$ ，所以每项非负。总和为 $0$ ，故每对边长相等，特别是 $a_2=a_n$ 。