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第3题

在一个所有内角都相等的 nn 边形中，连续边长满足 a1≥a2≥⋯≥ana_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n。证明 a1=a2=⋯=ana_1=a_2=\cdots=a_n。
第 5/5 步：由闭合条件求出第一条边
上一步下一步
通俗地说

其余边长全相等后，它们的方向向量和恰好是第一条单位方向的相反向量。

a1e0+t(e1+⋯+en−1)=(a1−t)e0=0⟹a1=ta_1e_0+t(e_1+\cdots+e_{n-1})=(a_1-t)e_0=0\Longrightarrow a_1=t
详细分析

设连续边方向的单位向量为 e0,e1,…,en−1e_0,e_1,\ldots,e_{n-1}。因 e0+⋯+en−1=0e_0+\cdots+e_{n-1}=0 且 a2=⋯=an=ta_2=\cdots=a_n=t，闭合条件变为 a1e0+t(e1+⋯+en−1)=(a1−t)e0=0a_1e_0+t(e_1+\cdots+e_{n-1})=(a_1-t)e_0=0。所以 a1=ta_1=t，所有边长相等。