MathLabs

第4题

求所有实数解 x1,…,x5x_1,\ldots,x_5，满足 i=1,…,5i=1,\ldots,5 时 xi+xi+2=yxi+1x_i+x_{i+2}=yx_{i+1}，其中下标按模 55 计算。
第 1/4 步：展开递推
上一步下一步
通俗地说

二阶递推在施加循环闭合前有两个自由度。

x1=s,x2=t,x3=yt−s,x4=(y2−1)t−ys,x5=(1−y2)s+(y3−2y)tx_1=s,\quad x_2=t,\quad x_3=yt-s,\quad x_4=(y^2-1)t-ys,\quad x_5=(1-y^2)s+(y^3-2y)t
详细分析

令 x1=sx_1=s、x2=tx_2=t。依次应用 xi+2=yxi+1−xix_{i+2}=yx_{i+1}-x_i 得 x3=yt−sx_3=yt-s、x4=(y2−1)t−ysx_4=(y^2-1)t-ys、x5=(1−y2)s+(y3−2y)tx_5=(1-y^2)s+(y^3-2y)t；闭合方程将限制 y,s,ty,s,t。