第4题

求所有实数解

x_1,\ldots,x_5

，满足

i=1,\ldots,5

时

x_i+x_{i+2}=yx_{i+1}

，其中下标按模

5

计算。

第 3/4 步：应用两个闭合方程

通俗地说

在五循环上闭合递推会限制特征值和两个初始参数。

(y^2+y-1)\bigl((y-1)t-s\bigr)=0,\quad (y^2+y-1)\bigl((y-1)s-(y^2-y-1)t\bigr)=0

详细分析

把第1步的表达式代入剩余两个方程得到所示方程组。若 $y^2+y-1\ne0$ ，第一个给出 $s=(y-1)t$ ；代入第二个得 $(y-2)t=0$ 。因此或者 $y=2$ ，或者 $s=t=0$ 。若 $y^2+y-1=0$ ，任意 $s,t$ 都使两个闭合方程恒成立。