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第5题

证明 cos⁡π7−cos⁡2π7+cos⁡3π7=12\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}=\frac12。
第 5/5 步：应用补角公式并得出结论
上一步下一步
cos⁡2π7−cos⁡3π7−cos⁡π7=−12⟹cos⁡π7−cos⁡2π7+cos⁡3π7=12\cos\frac{2\pi}{7}-\cos\frac{3\pi}{7}-\cos\frac{\pi}{7}=-\frac12\Longrightarrow\boxed{\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}=\frac12}
详细分析

使用 cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi-x)=-\cos x：cos⁡(4π/7)=−cos⁡(3π/7)\cos(4\pi/7)=-\cos(3\pi/7) 且 cos⁡(6π/7)=−cos⁡(π/7)\cos(6\pi/7)=-\cos(\pi/7)。代入三个余弦恒等式并将两边乘以 −1-1，得到所需结论。