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国际数学奥林匹克 · 1964年

试题

  1. 第1题(a) 求所有使 2n−12^n-1 被 77 整除的正整数 nn。(b) 证明不存在使 2n+12^n+1 被 77 整除的正整数 nn。解法: 1
  2. 第2题设 a,b,ca,b,c 是三角形的边。证明 a2(b+c−a)+b2(c+a−b)+c2(a+b−c)≤3abca^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le3abc。解法: 1
  3. 第3题圆内切于边长为 a,b,ca,b,c 的三角形 ABCABC。作与三角形各边平行的圆的切线。每条切线从 △ABC\triangle ABC 截出一个三角形，并在这三个三角形中各内切一个圆。求全部四个内切圆的面积和（用 a,b,ca,b,c 表示）。解法: 1
  4. 第4题十七个人彼此通信，每个人都与其余所有人通信。信件中只讨论三种不同主题，每一对通信者只讨论其中一个主题。证明至少有三个人彼此讨论同一个主题。解法: 1
  5. 第5题平面上有五个点，任意两条连接它们的直线都不平行、不垂直且不重合。从每个点向其余四点中任意两点的连线作垂线。求这些垂线可能有的最大交点数。解法: 1
  6. 第6题在四面体 ABCDABCD 中，将顶点 DD 与 △ABC\triangle ABC 的重心 D0D_0 相连。过 A,B,CA,B,C 作平行于 DD0DD_0 的直线，分别与平面 BCD,CAD,ABDBCD,CAD,ABD 交于 A1,B1,C1A_1,B_1,C_1。证明四面体 ABCDABCD 的体积是 A1B1C1D0A_1B_1C_1D_0 体积的三分之一。若 D0D_0 在 △ABC\triangle ABC 内任取，结论是否仍成立？解法: 1