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国际数学奥林匹克
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1964年
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第1题
第1题
(a) 求所有使
2
n
−
1
2^n-1
2
n
−
1
被
7
7
7
整除的正整数
n
n
n
。(b) 证明不存在使
2
n
+
1
2^n+1
2
n
+
1
被
7
7
7
整除的正整数
n
n
n
。
第 1/4 步：求余数周期
上一步
下一步
2
1
≡
2
,
2
2
≡
4
,
2
3
≡
1
(
m
o
d
7
)
2^1\equiv2,\quad2^2\equiv4,\quad2^3\equiv1\pmod7
2
1
≡
2
,
2
2
≡
4
,
2
3
≡
1
(
mod
7
)
详细分析
由于
2
3
=
8
≡
1
(
m
o
d
7
)
2^3=8\equiv1\pmod7
2
3
=
8
≡
1
(
mod
7
)
，再乘以
2
2
2
就得到对所有正指数重复的周期
2
,
4
,
1
2,4,1
2
,
4
,
1
。
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