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国际数学奥林匹克
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1964年
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第2题
第2题
设
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
是三角形的边。证明
a
2
(
b
+
c
−
a
)
+
b
2
(
c
+
a
−
b
)
+
c
2
(
a
+
b
−
c
)
≤
3
a
b
c
a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le3abc
a
2
(
b
+
c
−
a
)
+
b
2
(
c
+
a
−
b
)
+
c
2
(
a
+
b
−
c
)
≤
3
ab
c
。
第 2/4 步：改写不等式
上一步
下一步
2
z
(
x
+
y
)
2
+
2
y
(
x
+
z
)
2
+
2
x
(
y
+
z
)
2
≤
3
(
x
+
y
)
(
x
+
z
)
(
y
+
z
)
2z(x+y)^2+2y(x+z)^2+2x(y+z)^2\le3(x+y)(x+z)(y+z)
2
z
(
x
+
y
)
2
+
2
y
(
x
+
z
)
2
+
2
x
(
y
+
z
)
2
≤
3
(
x
+
y
)
(
x
+
z
)
(
y
+
z
)
详细分析
因为
b
+
c
−
a
=
2
z
b+c-a=2z
b
+
c
−
a
=
2
z
、
c
+
a
−
b
=
2
y
c+a-b=2y
c
+
a
−
b
=
2
y
、
a
+
b
−
c
=
2
x
a+b-c=2x
a
+
b
−
c
=
2
x
，代入后正好得到所示不等式。
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