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国际数学奥林匹克
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1964年
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第2题
第2题
设
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
是三角形的边。证明
a
2
(
b
+
c
−
a
)
+
b
2
(
c
+
a
−
b
)
+
c
2
(
a
+
b
−
c
)
≤
3
a
b
c
a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le3abc
a
2
(
b
+
c
−
a
)
+
b
2
(
c
+
a
−
b
)
+
c
2
(
a
+
b
−
c
)
≤
3
ab
c
。
第 4/4 步：应用 AM-GM
上一步
下一步
x
2
y
+
x
2
z
+
y
2
x
+
y
2
z
+
z
2
x
+
z
2
y
6
≥
x
y
z
\frac{x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y}{6}\ge xyz
6
x
2
y
+
x
2
z
+
y
2
x
+
y
2
z
+
z
2
x
+
z
2
y
≥
x
y
z
详细分析
左边六个正项的乘积为
(
x
y
z
)
6
(xyz)^6
(
x
y
z
)
6
，由 AM-GM 它们的平均至少为
x
y
z
xyz
x
y
z
。于是约简后的不等式成立，原命题也成立。
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