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第6题

在四面体 ABCDABCD 中，将顶点 DD 与 △ABC\triangle ABC 的重心 D0D_0 相连。过 A,B,CA,B,C 作平行于 DD0DD_0 的直线，分别与平面 BCD,CAD,ABDBCD,CAD,ABD 交于 A1,B1,C1A_1,B_1,C_1。证明四面体 ABCDABCD 的体积是 A1B1C1D0A_1B_1C_1D_0 体积的三分之一。若 D0D_0 在 △ABC\triangle ABC 内任取，结论是否仍成立？
第 2/5 步：求三个交点
上一步下一步
A1=−B−C,B1=−A−C,C1=−A−BA_1=-B-C,\quad B_1=-A-C,\quad C_1=-A-B
详细分析

过 AA 且平行于 DD0DD_0 的直线为 A+tD0A+tD_0。要位于平面 BCDBCD 中，AA 的系数必须为零，故 t=−3t=-3，从而 A1=−B−CA_1=-B-C。循环地得到 B1=−A−CB_1=-A-C、C1=−A−BC_1=-A-B。