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第6题

在四面体 ABCDABCD 中，将顶点 DD 与 △ABC\triangle ABC 的重心 D0D_0 相连。过 A,B,CA,B,C 作平行于 DD0DD_0 的直线，分别与平面 BCD,CAD,ABDBCD,CAD,ABD 交于 A1,B1,C1A_1,B_1,C_1。证明四面体 ABCDABCD 的体积是 A1B1C1D0A_1B_1C_1D_0 体积的三分之一。若 D0D_0 在 △ABC\triangle ABC 内任取，结论是否仍成立？
第 3/5 步：列出体积矩阵
上一步下一步
M=(−1/3−4/3−4/3−4/3−1/3−4/3−4/3−4/3−1/3)M=\begin{pmatrix}-1/3&-4/3&-4/3\\-4/3&-1/3&-4/3\\-4/3&-4/3&-1/3\end{pmatrix}
详细分析

从 A1,B1,C1A_1,B_1,C_1 中减去 D0D_0，并在基 A,B,CA,B,C 下表示所得向量。其系数矩阵就是所示的 MM，而原四面体对应单位矩阵。