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第6题

在四面体 ABCDABCD 中，将顶点 DD 与 △ABC\triangle ABC 的重心 D0D_0 相连。过 A,B,CA,B,C 作平行于 DD0DD_0 的直线，分别与平面 BCD,CAD,ABDBCD,CAD,ABD 交于 A1,B1,C1A_1,B_1,C_1。证明四面体 ABCDABCD 的体积是 A1B1C1D0A_1B_1C_1D_0 体积的三分之一。若 D0D_0 在 △ABC\triangle ABC 内任取，结论是否仍成立？
第 4/5 步：比较体积
上一步下一步
∣det⁡M∣=3|\det M|=3
详细分析

矩阵 (144414441)\begin{pmatrix}1&4&4\\4&1&4\\4&4&1\end{pmatrix} 的特征值为 9,−3,−39,-3,-3，故 ∣det⁡M∣=81/27=3|\det M|=81/27=3。因此 VA1B1C1D0=3VABCDV_{A_1B_1C_1D_0}=3V_{ABCD}。