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第6题

在四面体 ABCDABCD 中，将顶点 DD 与 △ABC\triangle ABC 的重心 D0D_0 相连。过 A,B,CA,B,C 作平行于 DD0DD_0 的直线，分别与平面 BCD,CAD,ABDBCD,CAD,ABD 交于 A1,B1,C1A_1,B_1,C_1。证明四面体 ABCDABCD 的体积是 A1B1C1D0A_1B_1C_1D_0 体积的三分之一。若 D0D_0 在 △ABC\triangle ABC 内任取，结论是否仍成立？
第 5/5 步：回答一般问题
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det⁡M(x,y,z)=−(x+y+z)−2=−3\det M(x,y,z)=-(x+y+z)-2=-3
详细分析

对任意内部点 D0=xA+yB+zCD_0=xA+yB+zC（x+y+z=1x+y+z=1 且 x,y,z>0x,y,z>0），同样的仿射计算给出 A1=−(yB+zC)/xA_1=-(yB+zC)/x 及循环公式。展开所得系数行列式为 det⁡M(x,y,z)=−(x+y+z)−2=−3\det M(x,y,z)=-(x+y+z)-2=-3，所以体积比仍为 33。因此结论对 △ABC\triangle ABC 内任意点都成立。