第2题

设

a

、

b

、

c

为一个三角形的三边长,

\alpha

、

\beta

、

\gamma

为对应的三个角,且

a+b=\tan\frac{\gamma}{2}\left(a\tan\alpha+b\tan\beta\right)

。证明该三角形是等腰三角形。

第 1/6 步：从假设中消去正切

上一步下一步

通俗地说

把混杂正切的等式变成只含正弦、余弦的多项式等式,才能在下一步用上和角公式。

(a+b)\cos\alpha\cos\beta\cos\frac{\gamma}{2} = a\sin\alpha\cos\beta\sin\frac{\gamma}{2} + b\cos\alpha\sin\beta\sin\frac{\gamma}{2}

详细分析

把 $a+b=\tan\frac{\gamma}{2}(a\tan\alpha+b\tan\beta)$ 中的 $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ 、 $\tan\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}$ 、 $\tan\frac{\gamma}{2}=\frac{\sin(\gamma/2)}{\cos(\gamma/2)}$ 代入,再在两边同乘 $\cos\alpha\cos\beta\cos\frac{\gamma}{2}$ ,消去所有分母。