竞赛 › 国际数学奥林匹克 › 1966年 第1题 某次数学奥林匹克竞赛出了三道题 A A A B B B C C C B B B A A A C C C A A A A A A A A A A A A B B B 解法: 1 第2题 设 a a a b b b c c c α \alpha α β \beta β γ \gamma γ a + b = tan γ 2 ( a tan α + b tan β ) a+b=\tan\frac{\gamma}{2}\left(a\tan\alpha+b\tan\beta\right) a + b = tan 2 γ ( a tan α + b tan β ) 解法: 1 第3题 证明:正四面体各顶点到其外接球球心的距离之和,小于这些顶点到空间中任意其他一点的距离之和。 解法: 1 第4题 证明:对任意自然数 n n n x x x t = 0 , 1 , … , n t=0,1,\dots,n t = 0 , 1 , … , n k k k x ≠ k π 2 t x\ne \frac{k\pi}{2^t} x = 2 t k π 1 sin 2 x + 1 sin 4 x + 1 sin 8 x + ⋯ + 1 sin 2 n x = cot x − cot 2 n x . \frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\frac{1}{\sin 8x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^nx} = \cot x - \cot 2^nx. sin 2 x 1 + sin 4 x 1 + sin 8 x 1 + ⋯ + sin 2 n x 1 = cot x − cot 2 n x . 解法: 1 第5题 设 a 1 a_1 a 1 a 2 a_2 a 2 a 3 a_3 a 3 a 4 a_4 a 4 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3 x 4 x_4 x 4 ∣ a 1 − a 2 ∣ x 2 + ∣ a 1 − a 3 ∣ x 3 + ∣ a 1 − a 4 ∣ x 4 = 1 ∣ a 2 − a 1 ∣ x 1 + ∣ a 2 − a 3 ∣ x 3 + ∣ a 2 − a 4 ∣ x 4 = 1 ∣ a 3 − a 1 ∣ x 1 + ∣ a 3 − a 2 ∣ x 2 + ∣ a 3 − a 4 ∣ x 4 = 1 ∣ a 4 − a 1 ∣ x 1 + ∣ a 4 − a 2 ∣ x 2 + ∣ a 4 − a 3 ∣ x 3 = 1 \begin{aligned} |a_1-a_2|x_2 + |a_1-a_3|x_3 + |a_1-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_2-a_1|x_1 + |a_2-a_3|x_3 + |a_2-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_3-a_1|x_1 + |a_3-a_2|x_2 + |a_3-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_4-a_1|x_1 + |a_4-a_2|x_2 + |a_4-a_3|x_3 &= 1 \end{aligned} ∣ a 1 − a 2 ∣ x 2 + ∣ a 1 − a 3 ∣ x 3 + ∣ a 1 − a 4 ∣ x 4 ∣ a 2 − a 1 ∣ x 1 + ∣ a 2 − a 3 ∣ x 3 + ∣ a 2 − a 4 ∣ x 4 ∣ a 3 − a 1 ∣ x 1 + ∣ a 3 − a 2 ∣ x 2 + ∣ a 3 − a 4 ∣ x 4 ∣ a 4 − a 1 ∣ x 1 + ∣ a 4 − a 2 ∣ x 2 + ∣ a 4 − a 3 ∣ x 3 = 1 = 1 = 1 = 1 解法: 1 第6题 在三角形 A B C ABC A B C A B AB A B B C BC B C C A CA C A M M M K K K L L L △ A M L \triangle AML △ A M L △ K B M \triangle KBM △ K B M △ L C K \triangle LCK △ L C K A B C ABC A B C 解法: 1 首页 知识库 重大问题 测验 数学家 竞赛