第2题

设

a

、

b

、

c

为一个三角形的三边长,

\alpha

、

\beta

、

\gamma

为对应的三个角,且

a+b=\tan\frac{\gamma}{2}\left(a\tan\alpha+b\tan\beta\right)

。证明该三角形是等腰三角形。

第 2/6 步：用和角公式按

a

、

b

分组

上一步下一步

通俗地说

识别出 $\cos\theta\cos\phi-\sin\theta\sin\phi$ 就是 $\cos(\theta+\phi)$ ,能把四个三角项压缩成两个简洁的余弦因子。

a\cos\beta\cos\left(\alpha+\frac{\gamma}{2}\right) + b\cos\alpha\cos\left(\beta+\frac{\gamma}{2}\right) = 0

详细分析

把所有项移到一边并因式分解:含 $a$ 的项合并为 $a\cos\beta(\cos\alpha\cos\frac{\gamma}{2}-\sin\alpha\sin\frac{\gamma}{2})$ ,含 $b$ 的项合并为 $b\cos\alpha(\cos\beta\cos\frac{\gamma}{2}-\sin\beta\sin\frac{\gamma}{2})$ 。由余弦和角公式,每个括号都等于 $\cos(\theta+\frac{\gamma}{2})$ ,由此得到上式。