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第2题

设 aa、bb、cc 为一个三角形的三边长,α\alpha、β\beta、γ\gamma 为对应的三个角,且 a+b=tan⁡γ2(atan⁡α+btan⁡β)a+b=\tan\frac{\gamma}{2}\left(a\tan\alpha+b\tan\beta\right)。证明该三角形是等腰三角形。
第 3/6 步：利用 α+β+γ=π\alpha+\beta+\gamma=\pi 建立两个余弦的关系
上一步下一步
通俗地说

这是对任意三角形都成立的角度恒等式,并非只对本题成立——正是它使第2步中的两个余弦项能合并为一个因子。

cos⁡(β+γ2)=−cos⁡(α+γ2)\cos\left(\beta+\frac{\gamma}{2}\right) = -\cos\left(\alpha+\frac{\gamma}{2}\right)
详细分析

由 γ=π−α−β\gamma=\pi-\alpha-\beta 可得 α+γ2=π2−β−α2\alpha+\frac{\gamma}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\beta-\alpha}{2} 及 β+γ2=π2+β−α2\beta+\frac{\gamma}{2}=\frac{\pi}{2}+\frac{\beta-\alpha}{2}。因为 cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos(\frac{\pi}{2}-x)=\sin x、cos⁡(π2+x)=−sin⁡x\cos(\frac{\pi}{2}+x)=-\sin x,所以对任意三角形这两个余弦互为相反数,与第2步的方程无关。