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第2题

设 aa、bb、cc 为一个三角形的三边长,α\alpha、β\beta、γ\gamma 为对应的三个角,且 a+b=tan⁡γ2(atan⁡α+btan⁡β)a+b=\tan\frac{\gamma}{2}\left(a\tan\alpha+b\tan\beta\right)。证明该三角形是等腰三角形。
第 5/6 步：分别求解每个因子得到 α=β\alpha=\beta
上一步下一步
通俗地说

使乘积为零的两个分支都导出相同的结论,因此分类讨论并不削弱最终结果。

cos⁡(α+γ2)=0 ⇒ α=β;acos⁡β=bcos⁡α ⇒ sin⁡(α−β)=0 ⇒ α=β\cos\left(\alpha+\frac{\gamma}{2}\right)=0 \ \Rightarrow\ \alpha=\beta; \qquad a\cos\beta=b\cos\alpha \ \Rightarrow\ \sin(\alpha-\beta)=0 \ \Rightarrow\ \alpha=\beta
详细分析

若第一个因子为0,则 α+γ2=π2−β−α2=π2\alpha+\frac{\gamma}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\beta-\alpha}{2}=\frac{\pi}{2},从而必有 α=β\alpha=\beta。若是 acos⁡β=bcos⁡αa\cos\beta=b\cos\alpha,由正弦定理 a=2Rsin⁡αa=2R\sin\alpha、b=2Rsin⁡βb=2R\sin\beta,得 sin⁡αcos⁡β=sin⁡βcos⁡α\sin\alpha\cos\beta=\sin\beta\cos\alpha,即 sin⁡(α−β)=0\sin(\alpha-\beta)=0;由于 α,β∈(0,π)\alpha,\beta\in(0,\pi) 且 α−β∈(−π,π)\alpha-\beta\in(-\pi,\pi),这同样迫使 α=β\alpha=\beta。