第3题

证明:正四面体各顶点到其外接球球心的距离之和,小于这些顶点到空间中任意其他一点的距离之和。

第 5/6 步：对三对对棱重复同样的论证

通俗地说

每对对棱各给出一个独立约束,三个约束合在一起,把最小值点锁定在唯一一点,而不是整个平面上。

P\in\Pi_{AB,CD}\cap\Pi_{AC,BD}\cap\Pi_{AD,BC}

详细分析

正四面体共有三对对棱( $AB\,\&\,CD$ 、 $AC\,\&\,BD$ 、 $AD\,\&\,BC$ ),每一对都给出一个垂直平分面,由第4步知任何最小值点都必须落在该平面上。由正四面体的对称性,这三个平面恰好交于一点,即中心 $O$ 。