第4题

证明:对任意自然数

n

及使所有分母都不为零的实数

x

(即对

t=0,1,\dots,n

及整数

k

都有

x\ne \frac{k\pi}{2^t}

),下式成立:

\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\frac{1}{\sin 8x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^nx} = \cot x - \cot 2^nx.

第 2/5 步：在每个尺度

y=2^{k-1}x

应用引理

通俗地说

把每个分数改写成差的形式,正是实现裂项相消求和的关键所在。

\frac{1}{\sin 2^kx} = \cot\left(2^{k-1}x\right)-\cot\left(2^kx\right),\quad k=1,\dots,n

详细分析

把 $y=2^{k-1}x$ 代入第1步的引理。当 $k$ 取遍 $1,\dots,n$ 时,左边每一项 $\frac{1}{\sin 2^kx}$ 都被改写为两个相邻余切之差。