第4题

证明:对任意自然数

n

及使所有分母都不为零的实数

x

(即对

t=0,1,\dots,n

及整数

k

都有

x\ne \frac{k\pi}{2^t}

),下式成立:

\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\frac{1}{\sin 8x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^nx} = \cot x - \cot 2^nx.

第 3/5 步：使总和发生裂项相消

通俗地说

这是标准的裂项相消模式:连续差之和最终化简为"首项减末项"。

\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sin 2^kx} = \sum_{k=1}^{n}\left[\cot(2^{k-1}x)-\cot(2^kx)\right] = \cot x - \cot(2^nx)

详细分析

把第2步中改写后的 $n$ 项相加,对每个 $1\le k\le n-1$ ,中间值 $\cot(2^{k}x)$ 都恰好出现一次 $+$ 号和一次 $-$ 号而相互抵消,只留下首项 $\cot x$ 与末项 $-\cot(2^nx)$ 。