第4题

证明:对任意自然数

n

及使所有分母都不为零的实数

x

(即对

t=0,1,\dots,n

及整数

k

都有

x\ne \frac{k\pi}{2^t}

),下式成立:

\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\frac{1}{\sin 8x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^nx} = \cot x - \cot 2^nx.

第 4/5 步：确认所有项都有定义

上一步下一步

通俗地说

题目给出的定义域限制并非需要额外证明的假设——它恰恰就是证明中每一次除法都合法所必需的条件。

x\ne \frac{k\pi}{2^t}\ (t=0,1,\dots,n,\ k\in\mathbb{Z})

详细分析

每一步都用到 $\sin(2^tx)\ne 0$ ,其中 $t=1,\dots,n$ (用于作除法),以及 $t=0,\dots,n-1$ ( $\sin 2^kx$ 所对应的余切有定义)。题目对 $x$ 的限制恰好排除了使某个 $2^tx$ 为 $\pi$ 的整数倍的值,而这正是保证上述所有分母都不为零的条件。