第4题

证明:对任意自然数

n

及使所有分母都不为零的实数

x

(即对

t=0,1,\dots,n

及整数

k

都有

x\ne \frac{k\pi}{2^t}

),下式成立:

\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\frac{1}{\sin 8x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^nx} = \cot x - \cot 2^nx.

第 5/5 步：陈述对所有

n

都成立的等式

通俗地说

由于第1–3步的论证从未假定某个具体的 $n$ ,同一套计算便同时对所有 $n$ 证明了该等式,无需另行使用数学归纳法。

\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^nx} = \cot x - \cot 2^nx

详细分析

第1–4步对任意自然数 $n$ 及任意合法的 $x$ 都成立,因此第3步得到的裂项等式正是需要证明的等式本身。