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第5题

设 a1a_1、a2a_2、a3a_3、a4a_4 是两两不同的实数,求解下列关于实数 x1x_1、x2x_2、x3x_3、x4x_4 的方程组: ∣a1−a2∣x2+∣a1−a3∣x3+∣a1−a4∣x4=1∣a2−a1∣x1+∣a2−a3∣x3+∣a2−a4∣x4=1∣a3−a1∣x1+∣a3−a2∣x2+∣a3−a4∣x4=1∣a4−a1∣x1+∣a4−a2∣x2+∣a4−a3∣x3=1\begin{aligned} |a_1-a_2|x_2 + |a_1-a_3|x_3 + |a_1-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_2-a_1|x_1 + |a_2-a_3|x_3 + |a_2-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_3-a_1|x_1 + |a_3-a_2|x_2 + |a_3-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_4-a_1|x_1 + |a_4-a_2|x_2 + |a_4-a_3|x_3 &= 1 \end{aligned}
第 2/7 步：用方程1减方程2
上一步下一步
通俗地说

两个系数大部分相同的方程相减,会抵消掉依赖于 aia_i 具体取值的部分,只留下 xix_i 之间的纯粹关系。

−x1+x2+x3+x4=0-x_1+x_2+x_3+x_4=0
详细分析

去掉绝对值后,方程1为 (a1−a2)x2+(a1−a3)x3+(a1−a4)x4=1(a_1-a_2)x_2+(a_1-a_3)x_3+(a_1-a_4)x_4=1,方程2为 (a1−a2)x1+(a2−a3)x3+(a2−a4)x4=1(a_1-a_2)x_1+(a_2-a_3)x_3+(a_2-a_4)x_4=1。两式相减并除以 a1−a2≠0a_1-a_2\ne0,得到 −x1+x2+x3+x4=0-x_1+x_2+x_3+x_4=0。