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第5题

设 a1a_1、a2a_2、a3a_3、a4a_4 是两两不同的实数,求解下列关于实数 x1x_1、x2x_2、x3x_3、x4x_4 的方程组: ∣a1−a2∣x2+∣a1−a3∣x3+∣a1−a4∣x4=1∣a2−a1∣x1+∣a2−a3∣x3+∣a2−a4∣x4=1∣a3−a1∣x1+∣a3−a2∣x2+∣a3−a4∣x4=1∣a4−a1∣x1+∣a4−a2∣x2+∣a4−a3∣x3=1\begin{aligned} |a_1-a_2|x_2 + |a_1-a_3|x_3 + |a_1-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_2-a_1|x_1 + |a_2-a_3|x_3 + |a_2-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_3-a_1|x_1 + |a_3-a_2|x_2 + |a_3-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_4-a_1|x_1 + |a_4-a_2|x_2 + |a_4-a_3|x_3 &= 1 \end{aligned}
第 4/7 步：用方程3减方程4
上一步下一步
通俗地说

这样三次相减(第2–4步)把原本看似非线性的方程组,变成了关于 x1,x2,x3,x4x_1,x_2,x_3,x_4 的普通线性方程组。

−x1−x2−x3+x4=0-x_1-x_2-x_3+x_4=0
详细分析

方程4为 (a1−a4)x1+(a2−a4)x2+(a3−a4)x3=1(a_1-a_4)x_1+(a_2-a_4)x_2+(a_3-a_4)x_3=1。用方程3减去它,再除以 a3−a4≠0a_3-a_4\ne0,得 −x1−x2−x3+x4=0-x_1-x_2-x_3+x_4=0。