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第5题

设 a1a_1、a2a_2、a3a_3、a4a_4 是两两不同的实数,求解下列关于实数 x1x_1、x2x_2、x3x_3、x4x_4 的方程组: ∣a1−a2∣x2+∣a1−a3∣x3+∣a1−a4∣x4=1∣a2−a1∣x1+∣a2−a3∣x3+∣a2−a4∣x4=1∣a3−a1∣x1+∣a3−a2∣x2+∣a3−a4∣x4=1∣a4−a1∣x1+∣a4−a2∣x2+∣a4−a3∣x3=1\begin{aligned} |a_1-a_2|x_2 + |a_1-a_3|x_3 + |a_1-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_2-a_1|x_1 + |a_2-a_3|x_3 + |a_2-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_3-a_1|x_1 + |a_3-a_2|x_2 + |a_3-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_4-a_1|x_1 + |a_4-a_2|x_2 + |a_4-a_3|x_3 &= 1 \end{aligned}
第 5/7 步：用三个关系式求出 x2,x3x_2,x_3
上一步下一步
通俗地说

四个未知数间的三个线性关系式两两组合后,能完全确定其中两个未知数,并迫使另外两个未知数相等。

x2=x3=0,x1=x4x_2=x_3=0,\quad x_1=x_4
详细分析

用第2步的方程减去第3步的方程,得 2x2=02x_2=0,故 x2=0x_2=0;用第3步的方程减去第4步的方程,得 2x3=02x_3=0,故 x3=0x_3=0。代入第2步的方程得 x1=x4x_1=x_4。