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第5题

设 a1a_1、a2a_2、a3a_3、a4a_4 是两两不同的实数,求解下列关于实数 x1x_1、x2x_2、x3x_3、x4x_4 的方程组: ∣a1−a2∣x2+∣a1−a3∣x3+∣a1−a4∣x4=1∣a2−a1∣x1+∣a2−a3∣x3+∣a2−a4∣x4=1∣a3−a1∣x1+∣a3−a2∣x2+∣a3−a4∣x4=1∣a4−a1∣x1+∣a4−a2∣x2+∣a4−a3∣x3=1\begin{aligned} |a_1-a_2|x_2 + |a_1-a_3|x_3 + |a_1-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_2-a_1|x_1 + |a_2-a_3|x_3 + |a_2-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_3-a_1|x_1 + |a_3-a_2|x_2 + |a_3-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_4-a_1|x_1 + |a_4-a_2|x_2 + |a_4-a_3|x_3 &= 1 \end{aligned}
第 6/7 步：求出公共值 x1=x4x_1=x_4
上一步下一步
通俗地说

四个未知数中两个已经为零后,任取一个原方程就足以确定剩下的两个。

x1=x4=1a1−a4x_1=x_4=\frac{1}{a_1-a_4}
详细分析

把 x2=x3=0x_2=x_3=0 代入 i=1i=1 时的原方程:(a1−a3)⋅0+(a1−a4)x4=1(a_1-a_3)\cdot0+(a_1-a_4)x_4=1,得 x4=1a1−a4x_4=\frac{1}{a_1-a_4},从而 x1=x4=1a1−a4x_1=x_4=\frac{1}{a_1-a_4}。