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第5题

设 a1a_1、a2a_2、a3a_3、a4a_4 是两两不同的实数,求解下列关于实数 x1x_1、x2x_2、x3x_3、x4x_4 的方程组: ∣a1−a2∣x2+∣a1−a3∣x3+∣a1−a4∣x4=1∣a2−a1∣x1+∣a2−a3∣x3+∣a2−a4∣x4=1∣a3−a1∣x1+∣a3−a2∣x2+∣a3−a4∣x4=1∣a4−a1∣x1+∣a4−a2∣x2+∣a4−a3∣x3=1\begin{aligned} |a_1-a_2|x_2 + |a_1-a_3|x_3 + |a_1-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_2-a_1|x_1 + |a_2-a_3|x_3 + |a_2-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_3-a_1|x_1 + |a_3-a_2|x_2 + |a_3-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_4-a_1|x_1 + |a_4-a_2|x_2 + |a_4-a_3|x_3 &= 1 \end{aligned}
第 7/7 步：用原始下标表述最终答案
上一步下一步
通俗地说

第1步的重新编号只是改变了名称;把简洁的答案换回原始下标后可以看到,解只取决于哪个 aia_i 是极值,而与具体的编号方式无关。

xmax⁡=xmin⁡=1amax⁡−amin⁡,  the other two xi=0x_{\max}=x_{\min}=\frac{1}{a_{\max}-a_{\min}},\ \text{ the other two } x_i=0
详细分析

还原第1步的重新编号:若 aia_i、aja_j 分别是四个数中最大和最小的,则唯一解为 xi=xj=1ai−ajx_i=x_j=\frac{1}{a_i-a_j},其余两个未知数均为 00;代回全部四个原方程可验证该解满足方程组。