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第6题

在三角形 ABCABC 的边 ABAB、BCBC、CACA 内部分别取点 MM、KK、LL。证明三个三角形 △AML\triangle AML、△KBM\triangle KBM、△LCK\triangle LCK 中至少有一个的面积小于或等于三角形 ABCABC 面积的四分之一。
第 2/7 步：表示 △AML\triangle AML 的面积
上一步下一步
通俗地说

由于共享一个角,正弦因子相互抵消,二维面积比便化为一维边长比的乘积。

[AML][ABC]=p(1−r)\frac{[AML]}{[ABC]}=p(1-r)
详细分析

三角形 AMLAML 与 ABCABC 共享顶点 AA 的角,故面积比等于两条邻边比值之积: [AML][ABC]=AMAB⋅ALAC=p(1−r)\frac{[AML]}{[ABC]}=\frac{AM}{AB}\cdot\frac{AL}{AC}=p(1-r)。