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第6题

在三角形 ABCABC 的边 ABAB、BCBC、CACA 内部分别取点 MM、KK、LL。证明三个三角形 △AML\triangle AML、△KBM\triangle KBM、△LCK\triangle LCK 中至少有一个的面积小于或等于三角形 ABCABC 面积的四分之一。
第 3/7 步：表示另外两个角三角形的面积
上一步下一步
通俗地说

三个角三角形具有循环结构,同一公式出现三次,变量依次从 (p,r)(p,r) 循环到 (q,p)(q,p),再到 (r,q)(r,q)。

[BKM][ABC]=q(1−p),[CLK][ABC]=r(1−q)\frac{[BKM]}{[ABC]}=q(1-p),\quad \frac{[CLK]}{[ABC]}=r(1-q)
详细分析

在 BB、CC 处用同样的共享角论证,得到 [BKM][ABC]=BKBC⋅BMBA=q(1−p)\frac{[BKM]}{[ABC]}=\frac{BK}{BC}\cdot\frac{BM}{BA}=q(1-p) 以及 [CLK][ABC]=CLCA⋅CKCB=r(1−q)\frac{[CLK]}{[ABC]}=\frac{CL}{CA}\cdot\frac{CK}{CB}=r(1-q)。